مسئله مورچه و تپه 🐜⛰️

صورت مسئله

یک مورچه دیگر می‌خواهد از تپه‌ای به ارتفاع 18 متر بالا برود. او هر بار 5 متر بالا می‌رود و سپس 3 متر سر می‌خورد. مورچه بعد از چند تلاش به بالای تپه می‌رسد؟ 🤔

روش اول: تحلیل گام به گام 🚶‍♀️

بیایید ببینیم در هر تلاش مورچه چه مقدار پیشرفت می‌کند. او 5 متر بالا می‌رود و 3 متر سر می‌خورد، پس در هر تلاش خالص 2 متر (5 - 3 = 2) بالا می‌رود. 📈

محاسبه تعداد تلاش‌ها

حالا باید ببینیم چند بار این پیشرفت 2 متری را تکرار کنیم تا به ارتفاع 18 متر برسیم. اما یک نکته مهم وجود دارد: در آخرین تلاش، مورچه ممکن است قبل از سر خوردن به بالای تپه برسد. بنابراین، ابتدا محاسبه می‌کنیم که مورچه چقدر باید بالا برود تا به نقطه‌ای برسد که با یک بار صعود 5 متری به بالای تپه برسد.

18 - 5 = 13 متر

حالا ببینیم چند تلاش لازم است تا مورچه 13 متر بالا برود:

13 / 2 = 6.5

از آنجایی که نمی‌توانیم نیمه تلاش داشته باشیم، باید 7 تلاش کامل انجام دهیم تا بیش از 13 متر بالا برویم. بعد از 6 تلاش، مورچه 12 متر (6 * 2 = 12) بالا رفته است. در تلاش هفتم، او 5 متر دیگر بالا می‌رود و به ارتفاع 17 متری می‌رسد. سپس 3 متر سر می‌خورد و به ارتفاع 14 متری برمی‌گردد.

در تلاش هشتم، مورچه دوباره 5 متر بالا می‌رود و به ارتفاع 19 متری می‌رسد که از بالای تپه (18 متر) بیشتر است. بنابراین، در این تلاش به بالای تپه می‌رسد و دیگر سر نمی‌خورد. 🎉

پس مورچه بعد از 8 تلاش به بالای تپه می‌رسد.

روش دوم: استفاده از الگوها 🧩

می‌توانیم پیشرفت مورچه را در هر تلاش با یک الگو نشان دهیم:

• تلاش اول: +5 -3 = +2
• تلاش دوم: +2 +5 -3 = +4
• تلاش سوم: +4 +5 -3 = +6
• ...

همانطور که می‌بینید، در هر تلاش 2 متر به ارتفاع اضافه می‌شود. با ادامه این الگو:

• تلاش چهارم: +8
• تلاش پنجم: +10
• تلاش ششم: +12
• تلاش هفتم: +14
• تلاش هشتم: +16
• تلاش نهم: +18 (رسیدن به بالای تپه) 🥳

اما این الگو دقیق نیست، زیرا در تلاش‌های آخر مورچه ممکن است قبل از سر خوردن به بالای تپه برسد. بنابراین، باید با دقت بیشتری بررسی کنیم.

جدول پیشرفت مورچه 📊

تلاش	صعود (متر)	لغزش (متر)	ارتفاع نهایی (متر)
1	5	3	2
2	5	3	4
3	5	3	6
4	5	3	8
5	5	3	10
6	5	3	12
7	5	3	14
8	5	-	19 (بالای تپه) 🎉

روش سوم: فرمول‌بندی ریاضی 🧮

می‌توانیم مسئله را با یک فرمول ریاضی حل کنیم. فرض کنید 'n' تعداد تلاش‌ها باشد. ارتفاع نهایی مورچه بعد از 'n' تلاش برابر است با:

$$\mathrm{ارتفاع}=2n$$

اما این فرمول فقط برای زمانی درست است که مورچه در هر تلاش هم بالا برود و هم سر بخورد. در تلاش آخر، او ممکن است قبل از سر خوردن به بالای تپه برسد.

بنابراین، باید یک شرط اضافه کنیم:

اگر ارتفاع نهایی بیشتر یا مساوی 18 متر باشد، مورچه به بالای تپه رسیده است.

حل فرمول

$$2n\ge 18$$

با تقسیم دو طرف نامساوی بر 2، داریم:

$$n\ge 9$$

اما این نتیجه درست نیست، زیرا در تلاش‌های آخر مورچه ممکن است قبل از سر خوردن به بالای تپه برسد. بنابراین، باید با دقت بیشتری بررسی کنیم.

در واقعیت، بعد از 7 تلاش، مورچه در ارتفاع 14 متری قرار دارد. در تلاش هشتم، او 5 متر بالا می‌رود و به ارتفاع 19 متری می‌رسد که از بالای تپه بیشتر است. بنابراین، در این تلاش به بالای تپه می‌رسد و دیگر سر نمی‌خورد.

پس مورچه بعد از 8 تلاش به بالای تپه می‌رسد.

اصطلاحات مهم 🤔

• تلاش: هر بار که مورچه بالا می‌رود و سپس سر می‌خورد.
• صعود: مقدار مسافتی که مورچه در هر تلاش به سمت بالا حرکت می‌کند (5 متر).
• لغزش: مقدار مسافتی که مورچه در هر تلاش به سمت پایین حرکت می‌کند (3 متر).
• ارتفاع نهایی: ارتفاعی که مورچه بعد از هر تلاش به آن می‌رسد.

توصیه‌های علمی و کاربردی 💡

این مسئله یک مثال ساده از حل مسائل گام به گام است. در زندگی واقعی، بسیاری از مشکلات پیچیده را می‌توان با شکستن آن‌ها به قسمت‌های کوچکتر و حل هر قسمت به طور جداگانه، حل کرد. همچنین، استفاده از الگوها و فرمول‌بندی ریاضی می‌تواند به ما کمک کند تا راه حل‌ها را سریعتر پیدا کنیم.

همیشه قبل از شروع به حل یک مسئله، آن را به دقت بخوانید و سعی کنید تمام جوانب آن را درک کنید. سپس، یک برنامه ریزی برای حل مسئله داشته باشید و گام به گام پیش بروید. اگر در هر مرحله با مشکل مواجه شدید، از کمک دیگران استفاده کنید یا روش خود را تغییر دهید.